1. একটি সুতায় দুটি তঙ্গের মিলনের ফলে যে স্থির তরঙ্গের সৃষ্টি হয় তার সমীকরন হচ্ছে y=5 sin πx3 cos 40πty=5 sin πx3 cos 40πt যেখানে x ও y হল সে.মি-এ এবং t হল সেকেন্ডে। (ক) তরঙ্গ দুটির প্রত্যেকটির বিস্তার ও বেগ কত? (খ) দুটি পর পর নিস্পন্দ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
(ক) 120 cms−1cms-1 (খ) 0,1,2,3,…..
2. নিচের চিত্রে চলচ্চিত্রের একজন স্ট্যান্টম্যান একটি উঁচু ভবনের ছাদে আনুভূমিকভাবে দৌড়িয়ে একটি অপেক্ষাকৃত কম উঁচু ভবনের ছাদে দৌড় দেবে। এই কাজটি করার পূর্বে সে বুদ্ধিমানের মতো তোমাকে প্রশ্ন করলো এটি করা তার পক্ষে সম্ভব হবে কি না। ছাদে তার দৌড়ের সর্বোচ্চ গতিবেগ 4.5 m/s হলে সে এটা করতে পারবে কি? সেক্ষেত্রে তোমার উপদেশ কি হবে? “ঝাপ দাও” । অথবা “ঝাপ দিও না”।
4.45m < 6.2m
3. প্রতিটি 1 mm ব্যাসার্ধের আটটি বৃষ্টির ফোঁটা 5 cm/s প্রান্তিক বেগে পতনশীল। যদি আটটি ফোঁটা একত্রিত হয়ে একটি বড় ফোঁটায় পরিণত হয়, তাহলে নির্গত শক্তির পরিমাণ নির্নয় কর। দেওয়া আছে, পানির পৃষ্ঠটান = 7.4×10−2 N/m7.4×10-2 N/m
3.72×10−6 J3.72×10-6 J
4. একটি দেয়াল হতে 4.8 cm ব্যাসের একটি অ্যালুমিনিয়ামের দন্ড আনুভুমিকভাবে 5.3 cm প্রক্ষেপিত আছে। দণ্ডটির শেষ প্রান্তে 1200 kg ভরের একটি বস্তু ঝুলান হল। অ্যালুমিনিয়ামের ব্যবর্তন গুনাংক 3×1010 N/m23×1010 N/m2 । দন্ডটির ভরকে উপেক্ষা করে (ক) দন্ডটির উপর ব্যবর্তন পীড়ন এবন (খ) দণ্ডটির প্রান্তের উলম্ব বিচ্যুতি নির্ণয় কর।
(ক) 6.5×106 N/m26.5×106 N/m2 (খ) 1.15mm
5. এক পরমানু বিশিষ্ট একটি আদর্শ গ্যাসকে 17°C17°C হঠাৎ এর মূল আয়তনের এক-দশমাংশ আয়তনে সংকুচিত করা হল। সংকোচনের প্র তাপমত্রা কত হবে?
29 k
- একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় কর যা x-অক্ষকে স্পর্শ করে এবং (1, 1) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার কেন্দ্র প্রথম চতুর্ভাগেx+y=3x+y=3রেখার উপর অবস্থিত।
x2+y2−4x−2y+4=0x2+y2-4x-2y+4=0
- P এবন Q সমান্তরাল ও সদৃশ বল। P বলের ক্রিয়া রেখাকে এর সমান্তরাল বরাবর Q বলের দিকে x দূরত্বে সরানো হলে এদের লব্ধি d দূরত্বে সরে যায়। প্রমান কর যে,
d=PxP+Qd=PxP+Q
- দুটি রেখা (-1, 2) বিন্দু দিয়ে যায় এবং তারা 3x-y+7=0 রেখার সাথে45°45°কোণ উৎপন্ন করে। রেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় কর এবং তাদের স্মীকরন হতে দেখাও যে, তারা পরস্পর লম্বভাবে অবস্থান করে।
-1 9. সমাধান করঃ 1|5x+2|≥515x+2≥5
{x∈R:−75≤x≤35এবং x≠−25}x∈R:-75≤x≤35এবং x≠-25
- y=x2−4x+7y=x2-4x+7ফাংশনের স্কেচ অংকন কর। একই সাথে ফাংশনের ডোমেন, রেঞ্জ, সিমেট্রিক লাইন সর্বোচ্চ/সর্বনিম্ন মান, এবং X-অক্ষ ও Y-অক্ষ হতে কর্তিত অংশ বের কর।
ymax=∞; ymin=3ymax=∞; ymin=3
- 1+2i1−3i1+2i1-3iকেr(cosθ+i sinθ)r(cosθ+i sinθ) আকারে প্রকাশ কর।
1√2(cos3π4+i sin3π4)12(cos3π4+i sin3π4)
- 1+2i1−3i1+2i1-3iকেr(cosθ+i sinθ)rcosθ+i sinθ আকারে প্রকাশ কর।
1√2(cos3π4+i sin3π4)12cos3π4+i sin3π4
- যদি A=[4321]4321এবংAB=[101747]AB=101747হয় তবে B ম্যাট্রিক্স এর উপাদানসমূহ বের কর।
B=[1223]B=1223
- একটি সমবৃত্তভুমিক কোণকের মধ্যে একটি খাড়া বৃত্তাকার সিলিন্ডার স্থাপন করা আছে। সিলিন্ডারের বক্রতল বৃহত্তম হতে হলে দেখাও যে, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধের অর্ধেক।
r2r2
- (2×2+Px3)10(2×2+Px3)10এর বিস্তৃতিতে x5x5 এবং x15x15 এর সহগ এর সমান P হলে এর ধনাত্মক মান নির্ণয় কর।
1√3[ p>0]13[ p>0]
- দুজন ছাত্রকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে বলা হল। একজন ছাত্র সমীকরণের x এর সহগটি ভুল লিখে 2 এবং 6 এই বীজ দুটি পেল। অপর ছাত্র ধ্রুবক পদটি ভুল লিখে 2 এবং -9 এই বীজ দিটি পেল। নির্ভুল সমীকরণের বীজগুলো নির্ণয় কর।
x=-4, -3
- tanθ+tan(π3+θ)+tan(2π3+θ)tanθ+tanπ3+θ+tan2π3+θকে tan 3θtan 3θ এর মাধ্যমে প্রকাশ কর।
3tan 3θ3tan 3θ
- যদি y=f(x) এবংx=1zx=1zহয়, তবে দেখাও যে, d2fdx2=z4d2ydz2+2z3dydzd2fdx2=z4d2ydz2+2z3dydz
z4d2ydz2+2z3dydzz4d2ydz2+2z3dydz
- একটি পাত্রে নয়টি বল আছে, যার মধ্যে দুইটি লাল, তিনটি নীল এবং চারটি কালো। তিনটি বল পাত্র থেকে দৈবভাবে নেওয়া হল। (ক) বল তিনটি ভিন্ন রংয়ের এবং (খ) বল তিনটি একই রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা কত?
(ক)2727 (খ) 584584
- y2 = axy2 = axএবং x2+y2=4axx2+y2=4ax রেখাদ্বয়ের অন্তবর্তী এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
(4π3+3√3)a2 4π3+33a2 বর্গ একক
21. দুটি নৌকা প্রত্যেকে 5 km/h বেগে চলে 3 km/h বেগে প্রবাহিত 550 m চওড়া একটি নদী পাড়ি দিতে চায়। একটি নৌকা নুন্যতম পথে ও অপরটি নুন্যতম সময়ে নদীটি পাড়ি দেয়। তারা একই সময়ে যাত্রা করলে তাদের অপর পাড়ে পৌঁছানোর সময়ের পার্থক্য নির্ণয় কর।
1.65 min
22. 3kg ভরের বস্তুর উপর একটি বল ক্রিয়াশীল আছে। বস্তুটির অবস্থান সমীকরন x=3t−4t2+t3x=3t-4t2+t3, যেখানে x এর মান মিটারে এবং t এর মান সেকেন্ডে । t=0 হতে t=4 সেকেন্ড সময়ে বলটি দিয়ে বস্তুর উপর কৃতকাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।
528 J
23. একটি সুষম গোলকের ভর 1×104 kg1×104 kg এবং ব্যাসার্ধ 1m , গোলক কর্তৃক গোলকের কেন্দ্র হতে 0.5 m দূরত্বে অবস্থিত m1m1 ভরের একটি কনার উপর মহাকর্ষ বলের মান কত? [G=6.673×10−11 Nm2/kg2]G=6.673×10-11 Nm2/kg2
3.34×10−7 m1N3.34×10-7 m1N
4.
24. কল্পনা কর যে, প্রৃথিবীর ব্যাস বরাবর একটি সুড়ঙ্গ খনন করা হল। একটি বস্তুকে সুড়ঙ্গের এক প্রান্ত থেকে ছেড়ে দেয়া হল এবং বস্তুটি সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দিত হতে লাগলো। পৃথিবীকে একটি সুষম গোলক মনে করে এবং বাধাদানকারী সকল বল উপেক্ষা করে পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে 5×105 m5×105 m দূরত্বে বস্তুটির ত্বরণ ও দোলনের পর্যায়কাল নির্ণয় কর। দেওয়া আছে পৃথিবীর ব্যাস R=6.4×106 mR=6.4×106 m এবং g=9.8 m/s2.g=9.8 m/s2.
84.62 min84.62 min
- f(x)=sin3x হলেlimh→0 (f(x+3h)−f(x)3h)limh→0 f(x+3h)-f(x)3hএর মান নির্ণয় কর।
3 cos 3x
- ABC ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় A(1,2,3), B(2,3,1) এবং C(3,1,2) হলে, ভেক্টর পদ্ধতিতে ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
32√3323 বর্গ একক
- CALCULUS শবটির বর্ণগুলোর সবগুলোকে একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়? এই বিন্যাসগুলোর কতগুলোতে প্রথম ও শেষে একই অক্ষর থাকবে?
5040; 540
- যদি sinx + siny = a এবং cosx + cosy = b হয়, তবে দেখাও যে, sin12(x−y)=±12√4−a2−b2sin12x-y=±124-a2-b2
sin12(x−y)=±12√4−a2−b2sin12x-y=±124-a2-b2
- মান নির্ণয় করঃ∫em tan−1x(1+x2)2dx∫em tan-1×1+x22dx
∫eaxcos bx=eaxa2+b2(a cos bx + bsin bx)